Innanzitutto ricordiamo la definizione di gioco semplice.
A pagina 206 si legge chiaramente: Un TU-game viene detto semplice se, per ogni coalizione $S$, il valore assunto da $v(S)$ è $0$ oppure $1$. A volte si aggiunge la condizione che sia $v(N) = 1$, cosa che faccio anch'io.
A questo punto, propongo la seguente definizione di potere di veto.

Si dice che un giocatore $i$ ha potere di veto nel gioco $(N,v)$ se non esiste alcuna coalizione $S sube N$ tale che sia $i !in S$ e risulti anche $v(S) = 1$.

Detto a parole, un giocatore può arbitrariamente decidere che tutti gli altri ottengano payoff nullo. Rapportandoci all'esempio di una votazione per far passare o meno una mozione, un giocatore con diritto di veto può far sì che la mozione non passi anche se tutti gli altri votano a favore.

Vogliamo ora dimostrare che il nucleo di un gioco semplice è non vuoto se e solo se vi sono giocatori con potere di veto. Consideriamo il gioco semplice $(N,v)$ e indichiamo con $core(v)$ il nucleo di tale gioco e con $vetum(v)$ l'insieme dei giocatori con potere di veto. Formalizzando, si vuole dimostrare che, dato un gioco semplice $(N,v)$, allora risulta $core(v) != O/ <=> vetum(v) != O/$.

1.     $\core(v) != O/ => \vetum(v) != O/$
Dimostriamolo per assurdo. Ipotizziamo dunque che sia $vetum(v) = O/$. Indichiamo con $ccD={S_1,S_2,...,S_k}$ l'insieme di tutte le coalizioni diverse da $N$ e tali che sia $v(S_i) = 1$, con $1 <= i <= k$. Ovviamente è $1 \le k \le 2^n - 1$ (ricordo che $v(O/) = 0$). Si può facilmente dimostrare che risulta $2 <= k <= 2^n - 2 - n$. Siccome nessuno ha potere di veto, comunque si sceglie un giocatore, si potrà trovare una coalizione appartenente a $ccD$ che non contiene tale giocatore.
Affinché un'allocazione $(x_1,x_2,...,x_n)$ stia nel nucleo, è necessario che sia $sum_(i in S) x_i >= v(S)$ per ogni $S sube N$. Possiamo quindi impostare il seguente sistema di disequazioni:
${(sum_(i in S_1) x_i >= v(S_1)),(sum_(i in S_2) x_i >= v(S_2)),(vdots),(sum_(i in S_k) x_i >= v(S_k)):}$
Ricordando come è stato definito l'insieme $ccD$ ricaviamo il sistema:
${(sum_(i in S_1) x_i >= 1),(sum_(i in S_2) x_i >= 1),(vdots),(sum_(i in S_k) x_i >= 1):}$
Sommando membro a membro tutte le $k$ condizioni suddette, otteniamo; $sum_(i in S_1) x_i + sum_(i in S_2) x_i + ... + sum_(i in S_k) x_i >= k$
A questo punto dobbiamo ricordare che ciascun giocatore non può essere incluso in tutte quante le $k$ coalizioni di $ccD$, ma può essere presente al più in $k-1$ coalizioni. Risulta dunque giustificata la seguente disuguaglianza:
$(k-1)x_1 + (k-1)x_2 + ... + (k-1) x_n >= sum_(i in S_1) x_i + sum_(i in S_2) x_i + ... + sum_(i in S_k) x_i$
la quale, mettendo $k-1$ in evidenza al primo membro, diventa:
$(k-1) (x_1 + x_2 + ... + x_n) >= sum_(i in S_1) x_i + sum_(i in S_2) x_i + ... + sum_(i in S_k) x_i$
e quindi in definitiva risulta:
$(k-1) (x_1 + x_2 + ... + x_n) >= sum_(i in S_1) x_i + sum_(i in S_2) x_i + ... + sum_(i in S_k) x_i >= k$.
Tuttavia ogni allocazione $(x_1,x_2,...,x_n)$, per poter stare nel nucleo, deve soddisfare la relazione $x_1+x_2+...+x_n=1$, per cui la condizione precedente diventa:
$k-1 >= sum_(i in S_1) x_i + sum_(i in S_2) x_i + ... + sum_(i in S_k) x_i >= k$ che è chiaramente un assurdo.
L'ipotesi di $vetum(v) = O/$ impedisce la presenza di allocazioni nel nucleo, dunque deve valere l'implicazione $core(v) != O/ => vetum(v) != O/$

2.     $\vetum(v) != O/ => \core(v) != O/$
Analogamente a quanto fatto nella dimostrazione precedente, possiamo costruire l'insieme $ccD$. Stavolta però, essendo $vetum(v) != O/$, esisterà almeno un giocatore presente in tutte le coalizioni contenute in $ccD$. Ipotizziamo che il giocatore $i$ abbia potere di veto, senza tuttavia supporre che sia l'unico avente tale facoltà.
Dalla definizione di nucleo, si verifica facilmente che l'allocazione che assegna payoff pari a $1$ al giocatore $i$ e payoff pari a $0$ a tutti gli altri giocatori sta effettivamente nel nucleo.
Se almeno un giocatore ha potere di veto, siamo dunque sicuri che nel nucleo ci sarà almeno un'allocazione, perciò vale l'implicazione
$\vetum(v) != O/ => \core(v) != O/$

Mio commento:
OK.
Aggiungo che la dimostrazione del punto 1 coglie elegantemente nel segno. Per la parte 2, a questo punto un lettore volenteroso potrebbe spingersi oltre e descrivere chi sono tutte e sole le allocazioni del nucleo.
Nota: ho usato la notazione $\core(v)$ per indicare il nucleo del gioco $v$ in quanto il termine inglese standard per indicare il nucleo (di un gioco cooperativo!) è "core".

Commento di Andrea Vitiello: