Problema n. 40
Commento di Andrea Vitiello:
Consideriamo un problema di contrattazione a informazione completa a due stadi in cui c'è un bene che due giocatori devono dividersi. Quantifichiamo il valore del bene ed indichiamo tale valore con la lettera $z$. Indichiamo inoltre con $x$ e $y$ i payoff ottenuti rispettivamente dal giocatore $I$ e dal giocatore $II$ e supponiamo che tali payoff siano uguali al valore della quantità di bene che ciascun giocatore riesce ad ottenere dopo la contrattazione. Come disagreement point fissiamo la coppia $(0,0)$. Imponiamo che debba essere $x,y \ge 0$. Ipotizziamo infine che sia il giocatore $I$ a fare la prima proposta e che, in caso di mancato accordo al primo stadio, sia introdotto un fattore di sconto $\delta < 1$ per il giocatore $II$, il quale otterrà in caso di accordo al secondo stadio un payoff pari a $y$ solo virtualmente (nella pratica sarà $\delta*y$). Assumendo valida la condizione di efficienza, sarà dunque considerato un valido insieme di contrattazione qualunque insieme di coppie $(x,y) : x+y=z$. Diamo ancora una definizione che ci tornerà utile nel seguito: indichiamo con $y_max$ il massimo valore di $y$ tra quelli appartenenti all'insieme di contrattazione fissato.
Vogliamo dimostrare che, per un problema di contrattazione siffatto, esiste sempre un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi che prevede la terminazione entro il primo stadio. Per la precisione, tale SPE prevede le seguenti strategie:
1 - il giocatore $I$ propone la spartizione $(bar x,bar y)$, dove $bar y$ è il minimo valore di $y$ tale che risulti $y >= delta*y_max$
2 - il giocatore $II$ accetta se il giocatore $I$ ha proposto una spartizione del tipo $(hat x,hat y)$ con $hat y >= delta*y_max$ e rifiuta in caso contrario
3 - il giocatore $II$ propone la spartizione $(x_min,y_max)$ (non occorre grande fantasia per capire chi sia $x_min$)
4 - il giocatore $I$ accetta qualunque proposta
Notiamo subito che effettivamente il gioco termina al primo stadio, poiché la proposta iniziale del giocatore $I$ viene accettata dal giocatore $II$. Si tratta inoltre di un equilibrio perfetto nei sottogiochi, poiché ad ogni nodo il giocatore chiamato in causa effettua una scelta "ottimale". Per convincerci di ciò, ripercorriamo a ritroso i 4 passi descriventi le scelte dei giocatori e verifichiamo che esse sono sempre ottimali:
4 - il giocatore $I$ deve accettare qualunque proposta gli venga fatta, poiché per ipotesi il suo payoff sarà comunque maggiore o uguale a zero, mentre se rifiuterà otterrà un payoff nullo
3 - il giocatore $II$ sa che qualunque proposta egli faccia sarà accettata, quindi proporrà la spartizione che gli garantisce payoff massimo (sebbene soggetto a fattore di sconto)
2 - il giocatore $II$ accetterà qualunque proposta che gli garantisca un payoff non minore del massimo payoff ottenibile al secondo stadio (tenendo dunque in conto il fattore di sconto) e rifiuterà ogni altro genere di proposte
1 - il giocatore $I$, essendo a conoscenza della situazione (ecco che risulta determinante l'ipotesi di informazione completa) proporrà una spartizione che garantisce al giocatore $II$ il minimo payoff che lo induca ad accettare
Non abbiamo fatto altro che applicare l'algoritmo di induzione a ritroso (spiegato per bene[nota] a pagina 72).
Mio commento:
Due commenti, di carattere generale.
Uno "piccolo" e l'altro un po' più corposo.
Tu parli di un bene disponibile in una data quantità $z$ (parli di valore, ma preferisco usare questo termine: cfr. infra), e che sono possibili spartizioni del tipo $x,y$ con $x+y=z$. Sarebbe opportuno esplicitare l'ipotesi che mi pare implicita: stai assumendo di avere a che fare con un bene "perfettamente divisibile" (usando una terminologia econ-like). Nel senso che ogni coppia di numeri reali $x,y$ (con $x+y=z$) è ammessa. A volte ciò non è lecito (neanche come ragionevole approssimazione a fini modellistici).
Il secondo commento si riferisce all'uso del temine "valore" che tu fai a proposito di $z$. Anche ammettendo le "buone intenzioni" (o la "buona fede", come dicono su Wikipedia), è meglio non usare quel temine che rischia di essere fuorviante. Abbiamo un oggetto (neanche userei il termine "bene", visto che potrebbe essere un "male", a priori; anche oggetto non è una scelta immune da critiche: magari quello che si devono spartire è il tempo a disposizione per usare il telescopio, o per tenersi in casa il quadro di Vermeer e, quindi, si dovrebbe parlare più propriamente di "servizio"; magari faremmo meglio a parlare di un "quid"...). Questo "oggetto" è misurabile in una opportuna unità di misura (Kg, euro, metri, secondi, etc.). Il simbolo $z$ sta ad indicare la quantità di questo oggetto. Così come $x$ ed $y$ indicano "quanto" di questo oggetto va (o viene proposto che vada) rispettivamente ad $I$ e a $II$.
A questo punto l'ipotesi che tu fai, che la utilità dei giocatori possa essere misurata sulla stessa scala che usiamo per "quantificare l'oggetto", risulta essere più chiara.
Ultimo commento: in realtà l'analisi che tu fai "regge" anche senza fare quest'ultima speciale ipotesi. Basta avere a che fare con una utilità strettamente crescente nella quantità dell'oggetto disponibile.
Nota:
Sono commosso. Grazie!
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