Prima di cimentarmi nella parte grafica, credo sia meglio chiarire le idee. Insomma bisogna rappresentare un gioco in cui c'è una mossa di $II$ che segnala la propria natura, poi ci sono le mosse propriamente dette e simultanee di $I$ e $II$.
Per quanto riguarda la mossa preliminare, $II$ può fare 3 cose:
-segnalare di essere di tipo $1$
-segnalare di essere di tipo $2$
-non segnalare

A questo punto, se la probabilità che $II$ sia di tipo $1$ ($p$) è maggiore di $1/2$, la mossa "segnala di essere di tipo $1$" è superflua, poiché un giocatore $II$ razionale e intelligente non la adopererà mai. Avevo pensato di rappresentare un gioco nell'ipotesi di $p>1/2$ e vorrei sapere se anche tu condividi l'idea di omettere la mossa "segnala di essere di tipo $1$". La chiave di tutto è proprio il "poter supporre" $p>1/2$. Se mi è concesso, allora le cose prendono una piega ben definita. A quel punto, infatti, il giocatore $I$, a seconda della segnalazione (o della non segnalazione) fatta da $II$, capisce egli di che tipo sia e quindi non c'è più bisogno di creare un unico grande insieme di informazione, ma basta farne due più piccoli e non collegati tra loro (un insieme sarà $L.1-R.1$ e un altro invece $L.2-R.2$). In realtà, una volta capito di che tipo sia $II$, $I$ sa anche che mossa farà $II$ (strategie fortemente dominate) e quindi il concetto di "insieme di informazione" (che presuppone un'incertezza sul nodo in cui un giocatore si trovi esattamente) perde gran parte (eufemismo... avrei dovuto dire "tutto") il proprio valore. Condividi?
Posso dunque, nella rappresentazione del gioco, supporre $p>1/2$ (o alternativamente $p<1/2$)?

Mio commento:
Quanto al "fare 3 cose", osservo che $II$ può anche dire:
- sono di tipo 1 con probabilità $6/7$ (o $1/\pi$...)
- bella giornata, vero?
- io ti aspetto fuori se non fai così e cosà
- la TdG è una schifezza immonda
- swnxchyfgqDCM
oltre che "dire", può fare:
- sospirare
- emettere odori poco piacevoli
etc... 

Comunque, puoi cominciare con i tre casi che dici tu.
Quanto alla tua domanda finale, non vedo problemi a supporre che sia $p > 1/2$ (ad esempio). Ricordo che il valore di $p$ è common knowledge
- quanto al fatto che una mossa sia superflua, basta fare così:
--- si studia il caso in cui quella mossa c'è
--- si studia il caso in cui non c'è
e si prova che i risultati sono "identici" (nella misura in cui lo possono essere)

Commento di Andrea Vitiello:

Penso di mettere una mossa iniziale del caso che determina (con una certa distribuzione di probabilità) la natura di $II$, poi gioca $II$ e segnala di essere di tipo $1$, di tipo $2$ oppure non segnala nulla, dopodiché si gioca normalmente. Pensavo una cosa: alla fine come payoff si potrebbe mettere il valore dei payoff attesi al posto di quelli canonici? E pensavo anche: ho specificato che è $p>1/2$, però a questo punto, per come è fatto il gioco, $II.1$ non ha necessità di segnalare di essere di tipo $1$ né tantomeno di essere di tipo $2$, mentre $II.2$ non ha necessità di segnalare di essere di tipo $1$ né di non segnalare alcunché, quindi se ipotizziamo $p>1/2$ ci saranno delle segnalazioni inutili... Sia $II.1$ che $II.2$ hanno una sola segnalazione realmente sensata da effettuare. Come si può affrontare il problema della ridondanza delle segnalazioni?

Mio commento:
Sono curioso di vedere cosa metteresti come payoff.
Quanto alla ridondanza delle segnalazioni, il problema chiede di scrivere il gioco, non di risolverlo. Quanto dici sopra non è un problema tuo (ovviamente, sto parlando in riferimento al problema 33)

Commento di Andrea Vitiello:

Se si vuole fare un grafico in senso stretto, credo che non ci sia alternativa a mettere i payoff effettivi, difatti ogni sequenza di mosse ha uno e un solo esisto ben definito. Tuttavia, date le caratteristiche del gioco, avevo pensato a un grafico senza le mosse fatte da $II$ ($L$ e $R$ per intenderci) ma solo le mosse di $I$ (sulla cui natura non c'è alcuna incertezza); in corrispondenza di queste ultime ci metterei i payoff attesi. In fondo per queste categorie di giochi ci si basa proprio sui payoff attesi per cercare le soluzioni. Mi rendo conto che non sarebbe la "vera" rappresentazione della forma estesa, ma una sua variante molto singolare. Come mi è venuta questa idea? Semplicemente perché la rappresentazione tradizionale la trovavo troppo scontata.

Mio commento:
ok, vediamo!

Commento di Andrea Vitiello:

Ecco i due alberi: non canonico e canonico.

Mio commento:
Lascio la verifica al "lettore".