Consideriamo il gioco di maggioranza descritto a pagina 194 e indichiamo con $(x_1,x_2,x_3)$ una generica allocazione. Vediamo dunque quali condizioni devono essere rispettate affinché siano soddisfatti l'assioma di Efficienza e l'assioma di Simmetria (restrizione del più generale assioma di Anonimità). Volutamente non ho usato la notazione $(Phi_1(v),Phi_2(v),Phi_3(v))$, la quale potrebbe far pensare che la terna cercata sia il valore di Shapley del gioco in questione; per essere sicuri che si tratti del valore di Shapley, invece, andrebbero verificate anche altre condizioni imposte da ulteriori assiomi.
Per l'assioma di Efficienza, la cosa è molto semplice: occorre che risulti $x_1+x_2+x_3 = 1$.
Per quanto riguarda invece l'assioma di Simmetria, bisogna innanzitutto trovare ogni permutazione $sigma$ per cui risulti $sigmav=v$. Si può facilmente verificare che tutte le $6$ possibili permutazioni soddisfano questa relazione, quindi nel gioco di maggioranza Simmetria e Anonimità coincidono. La condizione da imporre discende dall'osservazione che ciò che viene assegnato ad un giocatore deve essere uguale a ciò che viene assegnato a un qualunque altro giocatore che ne prenda il posto [b]in una qualsiasi permutazione. In formule risulta $x_1 = x_2 = x_3$.
Si verifica facilmente che l'unica allocazione che soddisfa entrambe le condizioni trovate è la seguente: $(1/3,1/3,1/3)$. Ovviamente tale allocazione è instabile, poiché ciascuna coppia di giocatori, se decidesse di coalizzarsi, otterrebbe un payoff pari a $1$ e quindi si potrebbe ipotizzare che ogni giocatore riceva $1/2$.
Un'ultima osservazione è che già la sola condizione di Simmetria imporrebbe in ogni caso allocazioni instabili o irrealizzabili. Difatti, per la stabilità, si dovrebbe assegnare ad ogni giocatore almeno $1/2$, ma in tal caso si andrebbe oltre il valore consentito $v(N) = 1$. Assegnando a ciascuno un payoff inferiore a $1/2$ si ha invece, come nel caso di $(1/3,1/3,1/3)$, instabilità.

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