In generale credo non sia da scartare "a priori" un equilibrio, sebbene dominato da un altro equilibrio. -Nella tabelle 11.3 ad esempio è ovvio che sia I che II preferiscono l'equilibrio $(T,L)$ a $(B,R)$, ma se I (per vari motivi) gioca $B$ con probabilità alta (oppure II gioca $R$ con probabilità alta) quell'equilibrio è fortemente candidato ad essere la soluzione del gioco. Sinceramente, allacciandomi a un esempio fatto per un altro gioco, sono dell'idea che, se non hanno motivi particolari per usare una strategia piuttosto che un'altra, i due giocatori perverranno all'esito $(T,L)$, il quale, a mio modesto parere, costituisce la naturale evoluzione del gioco in assenza di qualunque altra ipotesi riguardo alle preferenze/necessità/inclinazioni dei giocatori.

-Per il gioco di tabella 11.4 le cose cambiano, anzi credo che alla fine l'equilibrio dominato $(B,R)$ sia la "vera" soluzione del gioco, poiché giocando rispettivamente $B$ ed $R$ i due giocatori si cautelano e si garantiscono un payoff, sebbene non ottimo, ma almeno subottimo con valori di $f$ e $g$ molto prossimi a quello che in altra sede è stato definito "massimo ombra" ovvero il non plus ultra degli esiti. Proprio in linea con il principio della "cautela" è bene notare che la strategia $(B,R)$ è di maxmin per entrambi i giocatori. In questo gioco il discorso relativo alle strategie miste credo abbia poco senso, in quanto i valori di payoff "certi" sono talmente vicini al "massimo ombra" che trovo alquanto difficile che si arrivi a un esito diverso da $(B,R)$.

-Per quanto concerne la tabella 11.4 credo che il valore dei payoff per l'equilibrio $(x_3,y_3)$ sia talmente grande rispetto agli esiti negativi $(0,0)$ e talmente prossimo ai payoff massimi $(100,100)$ da essere considerato quasi alla pari di un "massimo ombra" e quindi non va affatto scartato.

Vorrei spendere due parole sulla eventuale soluzione del gioco... in assenza di probabilità assegnate (o assegnabili) è alquanto arduo per ciascun giocatore effettuare una scelta; un possibile modo di interpretare la situazione è il seguente: si può vedere il gioco come una decisione doppia da parte di due concorrenti di un vero gioco a premi, il cui scopo è aprire una porta che contiene il premio... per aprire la porta ci sono 4 chiavi e ciascun giocatore dovrà scegliere per proprio conto una delle 4 chiavi... alla fine la porta si aprirà e i giocatori si divideranno il premio solo se entrambi hanno scelto la stessa chiave... ovviamente questo gioco non è a somma zero, in quanto i giocatori hanno lo stesso scopo (si presume che entrambi vogliano vincere il premio!!); fissata la scelta fatta dal giocatore II (scelta di cui il giocatore I non è a conoscenza), il giocatore I ha in teoria una possibilità su 4 di indovinare la chiave scelta dall'amico; secondo me le cose si possono semplificare tenendo conto del payoff $(99,99)$ il quale può essere interpretato come "nel caso in cui i giocatori vincano scegliendo la chiave numero 3 allora il loro premio sarebbe inferiore al caso in cui scelgano qualunque altra chiave"... a mio avviso, il giocatore II sceglierà a caso una chiave tra la 1, la 2 e la 4, visto che in questo caso la vincita eventuale (la cui probabilità non muta) diventa più consistente... e credo che anche il giocatore I possa fare ragionevolmente lo stesso ragionamento, sicché la probabilità di vincere da parte dei giocatori da $1/4$ passa a $1/3$.

Mio commento:
Risposta al tuo primo capoverso:

il fatto è che la difficoltà (e l'interesse) sta nel riuscire a togliere quel "se" che ho evidenziato sopra. Per il resto, alcuni commenti.
- non c'è nessuno spazio per una "evoluzione". Il gioco si gioca una ed una sola volta. Quindi, quando dici che "i due giocatori perverranno", stai descrivendo un processo mentale che avviene nella zucca dei due decisori. In altre parole, stai descrivendo quello che Binmore chiama "eductive process"
- il "bello" del problema sta nell'evitare di aggiungere altre ipotesi. "preferenze/necessità/inclinazioni"? I giocatori hanno le loro preferenze sugli esiti. Queste possono derivare da loro necessità o inclinazioni. Ma ciò non ci interessa. Non sindachiamo sull'origine delle preferenze. Se invece fai riferimento a necessità ed inclinazioni come a qualcosa di altro, di aggiuntivo rispetto alle preferenze, stai uscendo fuori dal contesto classico
chiudo (temporaneamente?) dicendo che i miei due commenti di sopra sono ancorati al fatto che ci si stia muovendo all'interno del modello classico di TdG (decisori razionali, iper-intelligenti, etc...). No problem al fatto che, mutando il quadro generale di riferimento, si possano trovare delle "soluzioni" al problema.

Risposta al tuo secondo capoverso:

sarebbe contento Harsanyi. Condividi l'idea che la "risk dominance" sia una considerazione importante da tenere presente. Quanto all'equilibrio in miste (ce n'è uno), esso dà un payoff pari a $999 \cdot \frac{1000}{1001}$ a ciascuno, quindi lievemente inferiore al payoff 999, che è "risk dominant". Spero di non aver sbagliato i conti, visto che non li avevo mai fatti!

Risposta al tuo terzo capoverso:

Sì, posso essere d'accordo con te. Faccio osservare però che stai introducendo una idea di "massimizzazione approssimata" o di "epsilon equilibri", che corrisponde ad un approccio stile "bounded rationality". Ovviamente non legittimo (vedi sopra) in un contesto di TdG classica. E che, comunque, pone il problema di spiegare perché sia trascurabile trascurare 1 (su una scala da 0 a 100) e non, magari, che so, 3 oppure 29.

Risposta al tuo ultimo capoverso:

1. dici: "in assenza di probabilità assegnate (o assegnabili) è alquanto arduo per ciascun giocatore effettuare una scelta". Bene, vedo che stai apprezzando le croci e delizie della TdG. Come già notato, il problema è di trovarle noi, quelle prob, sulla base dell'analisi della game form (giocatori, strategie, esiti) e delle preferenze dei giocatori, più razionalità, intelligenza, common knowledge, etc... 2. quanto al tuo "parallelo" col giochino delle chiavi, può essere comodo per ragionare sul gioco, ma la risposta non può dipendere (o essere più o meno convincente) sulla base del problemino "concreto" che si usa 3. noto una cosa MOLTO interessante. La frase che tu hai virgolettato: "nel caso in cui ... premio sarebbe [b]inferiore[/b] al caso in cui scelgano qualunque altra chiave" è interessante e soprattutto lo è la parola che ho messo in "bold". Qui stai abilmente giovando sul "framing" del problema. Ovvero, sul modo in cui la situazione viene descritta. Come dicono Kahneman e Tversky, il ruolo del framing può essere molto importante nei processi concreti di decisione. Tu lo usi per rendere più "plausibile" il fatto che l'opzione 3 sarà scartata. Immagino che, in un esperimento, si potrebbe verificare come il preciso "wording" della frase virgolettata possa avere influenza sulle scelte dei decisori (giocatori)

 

Commento di Andrea Vitiello:

Sulla prima parte nulla da eccepire

Commento tuo al mio terzo capoverso:
Verissimo... il fatto che 1 sia trascurabile rispetto a 100 è stato un mio abuso privo di qualunque fondamento. Mi chiedo se in TdG si usa stabilire di volta in volta dei criteri per considerare dei payoff trascurabili rispetto ad altri...

Commento tuo al mio ultimo capoverso, punto 1.:
Ecco, una cosa che non avevo afferrato: in TdG un problema importante è trovare le probabilità con cui i giocatori effettuano le loro mosse... insomma se quelle probabilità non ce le hai, tenti di costruirtele, non dici semplicemente "non ho informazioni quindi per il principio di ragione insufficiente suppongo ogni mossa equiprobabile alle altre". Da ora in avanti presterò la dovuta attenzione al problema delle probabilità da assegnare.

Commento tuo al mio ultimo capoverso, punto 2.:
Certo.

Commento tuo al mio ultimo capoverso, punto 3.:
Che vuol dire "framing"?


A proposito delle strategie miste, mi viene in mente un paragone con un concetto molto importante in teoria dell'informazione che ho avuto modo di trattare in lungo e in largo piuttosto di recente: processo aleatorio. Un processo aleatorio è una collezione di segnali deterministici (tempo continuo o tempo discreto) o equivalentemente un insieme di variabili aleatorie... se fissi un valore del tempo ottieni una ben precisa variabile aleatoria, mentre se fissi la variabile aleatoria ottieni una funzione deterministica. Ovviamente se fissi sia il tempo che la variabile aleatoria ottieni un numero reale.
Ora se consideriamo le strategie miste, ogni giocatore ha a disposizione molteplici distribuzioni di probabilità (variabili aleatorie). Se si presuppone di giocare un gioco (scusa l'annominazione ) più volte, si potrebbe ipotizzare che un giocatore ogni volta opti per una specifica distribuzione di probabilità... se si fissa un certo turno di gioco si ottiene la distribuzione di probabilità associata, mentre se si fissa una certa distribuzione di probabilità si ottiene la sequenza delle strategie di quel giocatore nei vari turni. Qualcuno a mai pensato di affrontare questo discorso e modellare giochi secondo la teoria dei processi aleatori (che poi diventano di particolare interesse quando si riesce ad introdurre proprietà interessanti come la stazionarietà, l'ergodicità...)?

Mio commento:
Commento mio al commento tuo al mio secondo capoverso:
No, non ci sono, come puoi immaginare, dei criteri generali. Ovviamente esistono dei risultati del tipo: $\forall \varepsilon > 0$ $\exists$ un $\varepsilon$-equilibrio di Nash (la cui def. è un semplice adattamento di quella di equilibrio di Nash). Ciò che è difficile (es anche delicato: vedi i miei lavori 19 e 24 menzionati qui: http://www.diptem.unige.it/patrone/pubb_pat.htm) è scegliere una particolare, specifica, soglia di tolleranza.


Commento mio al commento tuo al mio ultimo capoverso, punto 1.:
L'ideale sarebbe che la TdG potesse fare una predizione univoca per ogni gioco. Cioè, che potesse individuare una unica soluzione per ogni gioco. Ci si potrebbe accontentare anche di un po' di meno, ad esempio di quello che si ottiene nel caso dei giochi a somma zero, che magari non hanno un unico equilibrio, però essi sono tutti equivalenti (per i due giocatori), ed inoltre sono determinate le strategie di equilibrio di un giocatore, senza che esse siano per forza "accoppiate" con la corrispondente scelta dell'altro giocatore (mi sto riferendo alla proprietà di "rettangolarità", che discuto nel libro). Se la TdG fosse in grado di fare delle predizioni essenzialmente univoche, allora il giocatore $I$ (ad esempio) saprebbe che il giocatore $II$ usa quella strategia (pura o mista poco importa) e si regolerebbe di conseguenza. Di fatto, sto ri-esponendo una delle linee di pensiero che sono usate per giustificare l'equilibrio di Nash.
Peccato che tutto questo naufraghi (salvo rare eccezioni) di fronte a giochi che hanno più di un equilibrio di Nash. E in molti casi non ha molto senso usare "rasoi di Occam" o qualche tipo di simmetria per cercare di venire fuori dall'impasse.

Commento mio al commento tuo al mio ultimo capoverso, punto 3.:
Vedi Kahneman e Tverski: un breve giro in rete ti fornisce risposte facilmente accessibili e migliori della mia in estrema sintesi, se tu chiedi a un decisore di effettuare una scelta in un contesto che gli hai descritto, capita che la scelta che costui fa possa dipendere da particolari inessenziali (per dirla in breve: può dipendere da come presenti la situazione di scelta, cioè al "framing").
Ci sono esempi classici (preferisci farne morire 200 su 600 o salvarne 400 su 600?)
 

Commento di Andrea Vitiello:

Stupefacente... Ho fatto una ricerca in rete come mi hai consigliato e devo dire che il concetto di "framing" lo si riscontra in molte situazioni, anche se non si è quasi mai consapevoli di essersi imbattuti in esso.

A proposito delle strategie miste, mi viene in mente un paragone con un concetto molto importante in teoria dell'informazione che ho avuto modo di trattare in lungo e in largo piuttosto di recente: processo aleatorio. Un processo aleatorio è una collezione di segnali deterministici (tempo continuo o tempo discreto) o equivalentemente un insieme di variabili aleatorie... se fissi un valore del tempo ottieni una ben precisa variabile aleatoria, mentre se fissi la variabile aleatoria ottieni una funzione deterministica. Ovviamente se fissi sia il tempo che la variabile aleatoria ottieni un numero reale. Ora se consideriamo le strategie miste, ogni giocatore ha a disposizione molteplici distribuzioni di probabilità (variabili aleatorie). Se si presuppone di giocare un gioco (scusa l'annominazione ) più volte, si potrebbe ipotizzare che un giocatore ogni volta opti per una specifica distribuzione di probabilità... se si fissa un certo turno di gioco si ottiene la distribuzione di probabilità associata, mentre se si fissa una certa distribuzione di probabilità si ottiene la sequenza delle strategie di quel giocatore nei vari turni. Qualcuno a mai pensato di affrontare questo discorso e modellare giochi secondo la teoria dei processi aleatori (che poi diventano di particolare interesse quando si riesce ad introdurre proprietà interessanti come la stazionarietà, l'ergodicità...)?