Sinceramente questo esempio non mi convince. Per come vedo io le cose (magari le vedo male) c'è un non-sense a monte. Trovo assurdo che due tipi diversi del giocatore $I$ possano assegnare probabilità diverse alla natura di $II$. E' vero che i vari tipi di un giocatore possono essere visti come giocatori diversi, accetto e approvo questo modo di vedere proposto a pagina 109, però credo si debba ricordare che è pur sempre una visione "fittizia". Difatti, come è esplicitamente detto sempre a pagina 109, non si tratta di un qualunque gioco ad $H*K$ giocatori, ma di un caso particolare che deve rispettare determinate condizioni. Bene, secondo me un'importante condizione dovrebbe essere quella di imporre che tipi diversi dello stesso giocatore abbiamo idee coincidenti riguardo la natura di un altro determinato giocatore. In fondo i giocatori $I.1,I.2,\ldots,I.H$ "non esistono"... o meglio "esistono fittiziamente" nella mente degli altri. In realtà, c'è un unico giocatore $I$. Presupporre che esistano i vari $I.1,I.2,\ldots,I.H$ lo trovo giusto se ciò può semplificare la modellizzazione del gioco, ma personalmente non riesco a non tenere a mente che in realtà si tratta sempre dello stesso giocatore.
Commento di Andrea Vitiello . Data inserimento: 27 aprile 2007
Risposta.
Mah, immagina che tu non hai mai visto l'altro giocatore e ti fai una certa idea di lui.
E viceversa.
Anche se poi, alla fin fine, i due giocatori sono due persone ben determinate, cosa importa?
Per chi gioca (e per chi analizza il gioco, mettendosi nei loro panni) importa chi pensano di avere davanti
Certo, sono d'accordo. Ho fatto un discorso piuttosto lungo sperando di rendere più chiaro il mio messaggio, ma vedo che le aggiunte che ho messo hanno distolto l'attenzione dal mio vero obiettivo. La parte su cui volevo insistere era questa: secondo me non ha senso dire che $I.1$ assegna una certa distribuzione di probabilità ai vari tipi di $II$, mentre $I.2$ ne assegna un'altra diversa. Secondo me (in virtù del fatto che i vari tipi di un certo giocatore sono fittizi e possono essere ricondotti a un'unica entità), nella modellizzazione del gioco, si dovrebbe imporre che tutti i tipi di $I$ assegnino la medesima distribuzione di probabilità alla natura degli altri giocatori. In pratica il giocatore $I$ assegna una certa distribuzione di probabilità alla natura di $II$ e tale distribuzione deve valere per tutti i tipi di $I$ (e viceversa). Così facendo, l'esempio portato per dimostrare l'incoerenza dei belief non sarebbe più lecito. Cosa ne pensi?
Replica di
Andrea Vitiello
.
Risposta.
Senza dubbio ora è detto ben chiaramente!
Tuttavia, mi pare che quello che dici eliminerebbe un caso molto interessante di analisi, che rientra tra le caratteristiche di un gioco ad info incompleta.
Prendiamo $I$, con dei suoi belief rispetto ai tipi di $II$ (supponiamo $II$ possa essere di due tipi: $H$ o $L$). E supponiamo che $II$ non sappia i belief di $I$. Ma che ci possano essere due possibilità (agli occhi di $II$). Ovvero che:
- $I$ ritiene che $II$ sia $H$
- $I$ ritiene che $II$ sia $L$
(si potrebbero considerare anche situazioni in cui, agli occhi di $II$ i belief di $I$ abbiano una minore variabilità, ad esempio: $I$ attribuisce probabilità $0.7$ a $H$ in un caso o probabilità $0.6$ nell'altro).
Possiamo, per analizzare il problema, considerare due tipi di $I$ che differiscono appunto per i loro belief rispetto a $II$.
Anche ammettendo che $I$ sia la stessa persona, comunque è utile rappresentarlo con due possibili tipi, i quali hanno belief diversi.
Pag. 176:
Potresti chiarire meglio la differenza tra "utilità trasferibile" e "pagamenti laterali"? Una implica l'altra?
Commento di
Andrea Vitiello
.
Data inserimento:
21 giugno 2007
Risposta.
Secondo me sono due cose distinte, almeno come significato prevalente:
- pagamenti laterali vuol dire che uno può effettuare un qualche trasferimento (di denaro, di parte dell'esito ottenuto nel gioco [tre dei 5 fagioli vinti], di una villetta che lui possedeva prima del gioco e che non ha nessuna correlazione col gioco, di 4 gatti isterici, etc.). Insomma, uno non resta esattamente col payoff che ottiene in base alle regole del gioco. E' un modo per estendere (di molto, magari) gli esiti finali contemplabili da un accordo vincolante;
- utilità trasferibile vuol dire che vi è la possibilità di trovare una comune scala di misurazione per l'utilità dei giocatori. Di solito questa ipotesi si associa al fatto che si possa anche trasferire un bene (denaro, di solito) che può essere usato come "numerario" (come direbbe un economista) o come "unità di misura" (come magari direbbe un fisico).
Pag. 208:
Ho un po' di confusione riguardo a ciò che viene detto a pagina 208 sui giochi semplici e sul valore Shapley.
In generale, per la classe dei giochi superadditivi a $N={1,2,...,n}$ giocatori esiste ed è unico un vettore a $n$ componenti che soddisfa i $4$ Assiomi e che viene chiamato valore Shapley. Per i giochi semplici questo non è vero? Potrebbe non esistere un tale vettore o magari non essere unico?
Commento di
Andrea Vitiello
.
Data inserimento:
2 agosto 2007
Risposta.
Visto che si tratta di un punto di una certa importanza, mi sembra valga la pena di spendere due parole, nel tentativo di rendere in modo più chiaro, più esplicito, che cosa intendessi dire.
Il valore Shapley, essendo definito su $ccSccG(N)$, è anche definito sulla classe dei giochi semplici e superadditivi aventi $N$ come insieme dei giocatori (indicherò questa classe con la notazione $ccSccSccG(N)$).
Non solo, ma le formule che ci permettono di calcolare il valore Shapley per un gioco $v \in ccSccG(N)$ sono utilizzabili anche nel caso particolare in cui $v$ sia un gioco semplice. Casomai, c'è la speranza che se ne possa usare una versione più semplice.
Veniamo allora al dunque. Ciò che intendevo dire è che i 4 assiomi introdotti nel testo non caratterizzano il valore Shapley su $ccSccSccG(N)$. Detto altrimenti, non possiamo affermare che vi sia una ed una sola funzione $\Phi$ definita su $ccSccSccG(N)$ ed a valori in $RR^n$ che soddisfi i 4 assiomi. Per la precisione (grazie a Andrea Vitiello per la ulteriore sollecitazione) salta l'unicità. L'esistenza non dà problemi, essendo garantita dal fatto che abbiamo il valore Shapley che soddisfa questi assiomi su $ccSccG(N)$.
Il punto cruciale è l'assioma di superadditività.
Possiamo notare che $ccSccSccG(N)$ non è chiuso rispetto all'addizione (molto banalmente, dati due giochi semplici $v$ e $w$, abbiamo $v+w(N)=2$ e quindi $v+w$ non è semplice).
Quindi l'assioma di additività va comunque, pe lo meno, trasferito con cautela da $ccSccG(N)$ a $ccSccSccG(N)$. Invece di scrivere (vedi Assioma 8.4) che per ogni $v,w \in ccSccG(N)$:
$\Phi_i(v + w) = Phi_i(v) + \Phi_i(w)$, per ogni $i \in N$,
sarà meglio scrivere:
Se $v+w \in ccSccSccG(N)$, allora $\Phi_i(v + w) = Phi_i(v) + \Phi_i(w)$, per ogni $i \in N$,
Ma d'altronde, come notato, $v+w$ non apparterrà mai a $ccSccSccG(N)$!
Quindi, è come non avere niente...
Come considerazione generale, le poche parole scritte nel libro (forse potevo dilungarmi un pochino di più...) servono ad attirare l'attenzione su un aspetto che potrebbe non essere colto senza un minimo di riflessione. Non è detto che una caratterizzazione che vale su un insieme valga necessariamente anche per un suo sottoinsieme. Questa caratterizzazione potrebbe sfruttare (come avviene qui con l'assioma di additività) la maggiore possibilità di movimento che si ha nell'insieme più grande.
Da una risposta al problema 11: Considerando invece strategie miste (cioè nel caso in cui si giochi più volte)
Commento (implicito) di
Andrea Vitiello
.
Data inserimento:
4 aprile 2007
Risposta.
L'idea che le strategie miste siano necessariamente associate al fatto che il gioco sia ripetuto è piuttosto diffusa.
Il fatto, però, che sia molto diffusa non la rende corretta. Il presupposto che i giocatori siano "decisori di von Neumann - Morgenstern" fa sì che i valori della utilità attesa rappresentino correttamente le loro preferenze rispetto a lotterie (ovvero, a distribuzioni di probabilità sugli esiti). Quindi, se un giocatore sceglie di giocare una strategia mista, egli fa il calcolo del suo payoff atteso ed i risultati di questo calcolo sono tutto e solo ciò che gli occorre per poter valutare la convenienza della sua scelta.
Se il gioco viene giocato una volta sola (e questa è l'ipotesi che si fa, quando si parla di estensione mista di un gioco), il giocatore sa benissimo che, sulla base del risultato del meccanismo aleatorio che usa per implementare la sua strategia mista, egli si troverà a giocare una strategia "pura". Ma quale essa sia lo saprà solo "ex-post". Ciò che conta è la sua decisione "ex-ante" e la sua decisione ex-ante consiste nello scegliere una particolare strategia mista. Scelta che fa sulla base dei calcoli della sua utilità attesa.
Ulteriori commenti, non connessi direttamente al libro.
In merito alle mie note sui "lemons" (vedi: qui):
Nel caso dell'asta, sotto ipotesi di presenza di 5 buyers, ci siamo
messi nei panni di un giocatore che estragga l'oggetto di valore 2;
questo giocatore, secondo la teoria, dovrebbe avere un pay-off atteso
di 3,80 corrispondente alla sua offerta massima.
Si possono presentare 2 casi:
caso A: l'oggetto sorteggiato per la vendita è quello di valore 1.
In questo caso il giocatore farà l'offerta massima e si
aggiudicherà l'oggetto di valore 1 per 3,60 (secondo prezzo) e pertanto avrà un pay
off pari a -2,60.
caso B: l'oggetto sorteggiato per la vendita non sarà di valore 1.
In questo caso ci sarà un giocatore il cui pay off atteso sarà
4, quest'ultimo si aggiudicherà l'asta al prezzo di 3,80. Il nostro
giocatore, che aveva sorteggiato l'oggetto di valore 2, avrà un pay
off pari a 0 (non si aggiudicherà l'oggetto).
Non essendoci altri casi possibili, per il giocatore la strategia di
fare un'offerta pari a 1 è debolmente dominante rispetto a qualunque
altra strategia. Infatti il pay off sarà in questo caso pari a 0 in
ogni caso ( maggiore o uguale dei pay off della precedente strategia).
Commento di
Giancarlo Faglia e Marco Lettica (in data 30 gennaio 2007)
.
Data inserimento:
25 aprile 2007
Risposta.
Ho ben poco da dire. Le considerazioni che fate mettono giustamente in discussione la "furbizia" di fare una offerta pari alla propria valutazione. Non è detto che sia sempre debolmente dominante. Lo avevamo visto nel caso a valori privati, cosa che è ben lontana dall'essere vera in questo esempio di "limoni".
D'altronde, avevo detto che era un po' naif...
In merito al "beauty contest" (vedi: qui e qui), menzionato nella
conferenza di Sanremo
del 4 giugno 2007:
1. La pura razionalità come si intende nella TdG classica porta a dover dire "1", ma come è stato fatto notare l' "1" non vincerà mai. Bisogna tener conto del pubblico a cui ci si rivolge e quindi dei diversi tipi di ragionamento o "non-ragionamento". Ma proponendo questo gioco a un pubblico di, mettiamo, 100 teorici della probabilità, tutti a conoscenza di questo gioco, qual è la risposta esatta?
2. La razionalità dovrebbe tener conto della possibilità che tre partecipanti stringano un accordo vincolante (se non sbaglio il gioco non lo vieta).
3. Statisticamente, hai detto che il valore vincente si aggira, se non sbaglio attorno a 22... ma razionalmente non c'è nessun motivo per pensare ciò, nello stesso momento in cui lo si pensa si deve pensare che anche gli altri pensino lo stesso...
Cosa se ne deve ricavare? che non esiste una risposta esatta, che non esiste "la razionalità", o che la razionalità in questo caso non è utile?
Commento di
nato_pigro [nickname...] (in data 6 giugno 2007)
.
Data inserimento:
8 giugno 2007
Risposta.
1.
- l'ipotesi di giocatore razionale ed intelligente porta a dire che la soluzione è quella detta
- di fatto, queste ipotesi sui partecipanti al gioco non sono soddisfatte. E allora bisogna tenere conto di quale possa essere il livello adeguato da assumere, se si vuole inferire qualcosa sul risultato plausibile. Ecco qua alcuni "numeri" interessanti a proposito (alcuni numeri sono stati riportati in una tesi di dottorato, di Francesca Martignone, che ho seguito parzialmente):
http://www.hss.caltech.edu/~camerer/NYU/bgtpublic05.pdf (vedi pag, 13)
2.
no, il gioco lo vieta. Non sono stato ad esplicitare tutte le cose, ma se si vuole fare una sperimentazione seria, si assume che i giocatori non possano parlare tra loro (e quindi gli sarà un po' difficile stipulare accordi, vincolanti o no che siano)!
3.
quella che tu poni è una delle questioni interessanti. C'è molto fervore di ricerca su questo tema (Camerer, in particolare). Anche se può apparire strano, normalmente le persone hanno difficoltà ad iterare questo tipo di ragionamento, a tenere in conto adeguatamente della riflessività della situazione
Commenti al libro, segnalazioni, recensioni
da Internet Bookshop:
marco (08-06-2007)
Ottimo libro, scritto con il giusto equilibrio tra la divulgazione e il rigore scientifico. Buona la scelta di associare una pagina web ricca di approfondimenti matematici. Vuole essere una introduzione alla disciplina e ci riesce offrendo una panoramica della teoria dei giochi e lasciando al lettore la voglia di approfondire. Molto interessanti anche gli esercizi proposti.
Voto: 5 / 5
Ringrazio l'autore di questo commento. Non avrei osato sperare tanto!
Data inserimento:
2 agosto 2007
Segnalazione nella rubrica: il libro della settimana sul sito di Lettera Matematica Pistem
Data inserimento:
2 agosto 2007
Recensione di Andrea Vitiello sul numero 3 di Matematicamente Magazine di matematicamente.it
Data inserimento:
2 agosto 2007
PM ricevuto nel forum di matematicamente.it:
da ******* (30/07/07):
Ciao, mi hanno regalato il tuo libro
Alcuni mesi fa io e 6 miei compagni di scuola abbiamo affrontato, e vinto, la "Coppa FERMAT".
Hanno regalato come al solito alcuni libri, fra cui il tuo, "Decisori (razionali) interagenti , Una introduzione alla teoria dei giochi".
Ti ho trovato casualmente e volevo farti i complimenti per il libro, molto bello, interessante e mai noioso.
******* ******
Data inserimento:
2 agosto 2007
email ricevuta:
da ******* (28/09/07):
Ciao Fioravante,
Vado piano perché sono su 2000 cose allo stesso tempo,
ma sono a pag. 70 del tuo libro e mi diverto moltissimo
(già un gran risultato per un libro di matematica...).
Complimenti.
A presto,
*******
Data inserimento:
1 ottobre 2007
email ricevuta:
da ******* (30/01/08):
Colgo l'occasione per farle i migliori complimenti per il suo libro che ho trovato davvero completo,
contente chiarissime spiegazioni dei principali "noccioli duri" della tdg.
*******
Data inserimento:
31 gennaio 2008
email ricevuta:
da ******* (19/10/14):
Se vuole un commento da studente tipo una specie di review, io starei leggermente più compatto nelle prossime dispense. Nel senso che ci si trova le informazioni, ma in mezzo ad abbastanza frasi ripetute e 'chiacchiere' che ho apprezzato perché alleggeriscono il discorso ma altre hanno un po appesantito lo studio e la ricerca di informazioni. Questo è semplicemente un commento da studente e della mia esperienza.
*******
Data inserimento:
17 novembre 2014
Ultimo aggiornamento: 17 novembre 2014.
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